¿Los planetas serían cúbicos en mi "cuboverse"?

Resumen

La idea principal detrás de "cuboverse" es que las distancias en el espacio-tiempo se miden mediante (algo cercano a) la sup norm o infinito. Bajo esta norma, las esferas (el conjunto de puntos a una distancia fija de un origen) son iguales a los cubos, de ahí el nombre.

Otras características que he podido derivar de esto son:

  • Las geodésicas son líneas rectas como en nuestro mundo, pero

  • Básicamente, los objetos solo pueden moverse a una cierta velocidad constante, y solo en una de las ocho direcciones especiales, $ (\ pm 1, \ pm 1, \ pm 1) $ en coordenadas cartesianas.

  • Hay una fuerza atractiva de "gravedad", y una segunda fuerza cohesiva que permite que el material primordial forme grandes cuerpos de líquido similares a planetas.

Mi pregunta es:

¿Los planetas serían cúbicos en este universo? Si no, ¿qué forma alcanzarían (octaedros, esferas ordinarias, inestables, algo más)?

Me gustaría respuestas basadas en el razonamiento físico y, si es posible, con el apoyo de cálculos matemáticos, teniendo en cuenta los cambios relevantes a la física del mundo real (consulte la sección de detalles a continuación).


Fondo

Recientemente descubrí al escritor de ciencia ficción

Greg Egan . Muchas de sus novelas como Diaspora, la serie Orthogonal y Dichronauts comparten la idea de cambiar una o más cosas fundamentales sobre la física de nuestro mundo (el número de dimensiones, la firma métrica de estas dimensiones, los cambios en la física de partículas, etc.) y explorar las consecuencias de ese cambio. El autor mantiene en línea algunas notas de ciencia , y después de leerlas me inspiré para intentar construir uno de esos mundos yo mismo.

El cuboverso que imaginé consiste en grandes planetas hechos de líquido (similar al agua), uno de ellos habitado por una pequeña especie inteligente de "erizos de mar" con ocho picos, junto con otras criaturas sensibles parecidas a las anguilas y al tapete, De ellos viven cerca de la superficie. No hay estrellas en este mundo, por lo que el calor necesario proviene del planeta mismo. Ya he pensado en un método de propulsión para los erizos de mar y en algunos detalles aproximados de su sociedad. Todavía no he desarrollado la química y la física de partículas, y también tengo algunas preguntas sobre la biología, pero antes de nada me gustaría saber si el entorno que imaginé (específicamente la forma de los planetas y su estabilidad) es realista en El contexto de esta física modificada.


Detalles

Como advertencia, no tengo experiencia en explorar la física de mundos alternativos, es la primera vez que hago esto, por lo que algunas de las cosas que derivé a continuación podrían estar mal. De todas formas, mi idea básica es cambiar la métrica de Minkowski.

$$ ds = (-c ^ 2 dt ^ 2 + dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2) ^ {1/2} $$

a $ \ lambda $ -norm

$$ ds = (-c ^ \ lambda | dt | ^ \ lambda + | dx | ^ \ lambda + | dy | ^ \ lambda + | dz | ^ \ lambda) ^ {1/\ lambda}, $$

donde $ \ lambda $ es un número muy grande (decidí no elegir la norma estándar $ \ lambda \ to \ infty $ porque eso haría que las geodésicas no fueran únicas). De acuerdo con esto , con esta norma el espacio-tiempo parece ser una especie de análogo lorentziano de una geometría de Finsler . Podemos calcular las geodésicas (que resultan ser líneas rectas) y definir un vector de cuatro momentos para las partículas puntuales como de costumbre, utilizando el formalismo lagrangiano.

After some calculations (I can provide Detalles if needed), we arrive at equations for the momentum $p_i = mc\: \gamma^{\lambda-1} \left\vert\dfrac{v_i}{c}\right\vert^{\lambda-1} \operatorname{sign}(v_i)$ and energy $E = mc^2\: \gamma^{\lambda-1}$, where $$\gamma = \dfrac{1}{\left(1-\frac{|v_x|^\lambda+|v_y|^\lambda+|v_z|^\lambda}{c^\lambda}\right)^{1/\lambda}}.$$

Newton's second law $\mathbf{F} = \dfrac{d\mathbf{p}}{dt}$ still holds, so heuristically, for a generic set of particles at generic positions under the action of generic forces, the probability that the momenta have one or more components nearly equal to zero will be very small. Since $\lambda$ is very big, the components of the velocity vector will generically be close to $$v_i = \pm \left\vert\dfrac{p_i c}{E}\right\vert^{1/(\lambda-1)}\: c \approx \pm \left\vert\dfrac{p_i c}{E}\right\vert^0\: c = \pm c,$$ as I claimed in the Resumen.1 This implies, among other things, that it is virtually impossible for any object to stay still: its velocity will generically be one of the eight possible vectors pictured below (which one depends on which octant the momentum vector lies).

Eight possible velocity vectors in the

Para la gravedad, lo más razonable sería trabajar con un potencial gravitacional generalizado 2 $ V = \ dfrac {Gm_1 m_2} {\ lVert \ mathbf {r} \ rVert_ \ lambda} $, donde $ \ lVert \ mathbf {r} \ rVert_ \ lambda = (| r_x | ^ \ lambda + | r_y | ^ \ lambda + | r_z | ^ \ lambda) ^ {1/\ lambda} $ es la distancia estándar entre dos partículas de masas $ m_1 $ y $ m_2 $. Me las arreglé para hacer algunos cálculos, pero las órbitas se ven muy extrañas, así que decidí deshacerme de las estrellas y los sistemas planetarios, teniendo en cambio un solo tipo de cuerpo astronómico. Si los planetas son cúbicos (¡esa es mi pregunta!), Creo que la gravedad cerca de la superficie sería constante.

Dado que es extremadamente fácil mover un objeto estacionario aplicando una fuerza muy pequeña, cada estructura grande se volvería inestable solo por la gravedad, por lo que decidí tener una fuerza cohesiva secundaria que pegara partículas de materia primordial, mientras que aún permitía algunas movimiento parecido a un fluido. No estoy realmente seguro de cómo se verá esta fuerza ya que la química aún no está desarrollada, por lo que, por el momento, me veo obligado a trabajar con esta descripción aproximada de cómo quiero que se comporte.

Por el momento, como punto de partida, asumo que la materia primordial consiste en pequeñas partículas duras, digamos esferas ordinarias, y estudiando el colapso de una nube de este material bajo gravedad y una fuerza de contacto perfectamente inelástica (estas suposiciones pueden cambiar si es necesario para la respuesta). En este punto, el análisis se vuelve más difícil y no he podido encontrar si los planetas son cubos o no. Según la forma del potencial gravitatorio, esperaría un "sí", pero las extrañas restricciones en la velocidad me hacen dudar. Además, no estoy completamente seguro de que una fuerza cohesiva resuelva completamente el problema de inestabilidad. Por otro lado, las cosas podrían complicarse por los efectos relativistas, ya que las velocidades están cerca de $ c $.


Dos notas finales:

  • Solo para evitar cualquier posible confusión: mi intención detrás de la pregunta no es crear un mundo con planetas cúbicos, está perfectamente bien para mí si la respuesta es "estos planetas nunca pueden existir en tu mundo, incluso si modificas las fuerzas gravitacionales/cohesivas ". La intención subyacente es simplemente explorar las consecuencias de la premisa principal; no es necesario mantener viable la idea de los pequeños erizos de mar.

  • Aunque el contexto es la construcción del mundo, este es en su núcleo un problema de física matemática y, como tal, sin duda tiene una respuesta correcta única. Creo que he desarrollado la física básica lo suficiente como para que la pregunta sea respondible con la información que proporcioné. Si ese no es el caso (si hay una variable libre que no se ha tenido en cuenta, o si la respuesta es crucial, se necesitan conceptos de la versión correspondiente de, por ejemplo, la termodinámica), señale qué más se necesita y trataré de resolverla con rigor. si es factible.


EDIT: Inspired by Aric's answer I tried to make a simulation myself. I'm not very good at coding so I haven't been able to make the inelastic collisions work yet. Applying the force of gravity only, it turns out that an initially static cloud of material does seem to collapse into an octahedral shape, as suggested by some of the answers. Here are the results for a spherical slice of primordial material (color represents height):

Collapse of matter under gravity only

Sin embargo, dado que hay algunos puntos en los que las partículas tienden a agruparse fuertemente y la simulación no tiene en cuenta la fuerza de cohesión que las separaría, creo que todavía existe una buena posibilidad de que la forma real sea más parecida a un cubo, o tal vez algo entre similar a esto , como sugiere la respuesta de JBH. Todavía queda la cuestión de la estabilidad, que no sé cómo abordar.

Solo como referencia, también encontré algunas diapositivas en línea sobre una posible forma para tratar la dinámica de fluidos en un espacio-tiempo de Finsler. La mayor parte está sobre mi cabeza en este momento, pero tal vez alguien los encuentre útiles.


1. - Si mis cálculos son correctos, la velocidad real $ \ lVert \ mathbf {v} \ rVert_ \ lambda $ en realidad no está tan cerca de $ c $ pero es un poco menor para las partículas masivas. Por ejemplo, para $ m = 1.8 $ kg, $ \ lambda = 100 $ y un rango de energías cinéticas dentro de $ (1.5 - 180) mc ^ 2 $, la velocidad se mantiene entre $ 95-97 \% $ de $ c $. Sin embargo, creo que los fenómenos relativistas más comunes, como la contracción de la longitud o la dilatación del tiempo, no juegan un papel importante, ya que $ \ gamma $ es prácticamente $ 1 $ para casi todas las velocidades, pero puedo estar equivocado en esto, Se le ha dado mucha importancia todavía.

2. - One can consider the analogue of a Klein-Gordon massless field and work out the corresponding "Coulomb" interaction potential as the Green function for a static field Fondo. Dimensional analysis of the resulting integral suggests a law of the form $V \propto \lVert\mathbf{r}\rVert_\lambda^{\lambda/(\lambda - 1)-3}$ (which is an inverse square of the distance for big $\lambda$) rather than $V \propto \lVert\mathbf{r}\rVert_\lambda^{-1}$ (someone asked for my reasoning and I put it here, in case anyone else's interested). For a true gravitational force I guess I would have to look into a suitable coupling between matter and a curved Finsler geometry, and it seems there is already some work being done on this. But I don't think the specifics matter much at this point, for the moment I just want a reasonable-looking attractive force.

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Los comentarios no son para discusión extendida; esta conversación ha sido chatear .
agregado el autor Brian Schmitt, fuente
Los comentarios en el post de mathoverflow que vinculó parecen sugerir que podría haber problemas para definir la conexión de Finsler en tal variedad. Eso me da algunas dudas sobre si su pregunta está bien planteada, pero debo admitir que estoy un poco fuera de mi elemento.
agregado el autor Daniel, fuente
@TimSeguine Sí, también he pensado en esto. El "Hessian of the squared norm" mencionado en los comentarios es realmente la métrica HDE226868 definida en su respuesta. Si los entendí correctamente, en mi contexto minkowskiano esto significa que la métrica puede no ser siempre invertible, por lo que no se puede usar, por ejemplo, $ g ^ {\ mu \ nu} $ en cualquier ecuación, o definir un impulso Índices ", sin ser extra cuidadoso. Sin embargo, creo que el análisis de Lagrangian que he estado haciendo (incluyendo geodésicos y energía-impulso canónico de "índices descendentes") todavía funciona.
agregado el autor user54411, fuente

10 Respuestas

TMM; DR (demasiadas matemáticas, no leí):

Para cualquiera que no quiera pasar por las derivaciones y cálculos a continuación, aquí están los puntos importantes de mi respuesta:

  • No estamos trabajando con el mismo espacio que el espacio euclidiano normal, amigable.
  • Esto significa que, si bien todavía podemos integrar y diferenciar las funciones escalares definidas en este espacio, debemos hacer correcciones leves.
  • Estas correcciones se pueden calcular a partir de algo llamado "tensor métrico", que describe la curvatura del espacio.
  • Hay varios métodos que podrían usarse para encontrar una superficie equipotencial (y por lo tanto la forma del planeta); deberían requerir estas correcciones.

Si quieres más detalles, sigue leyendo!

Calculando el tensor métrico

Para realizar ciertos cálculos en este espacio, es necesario calcular el tensor métrico $ g $. Esto se usa comúnmente en el caso de las variedades (pseudo) -Riemannianas, y desempeña un papel central en la relatividad general, como supongo que están conscientes. Para realizar cálculos que involucren la curvatura de su espacio, necesitamos saber $ g_ {ij} $, los componentes de $ g $.

In the Riemannian case, we have the (smooth), non-negative norm $F$. From it we can derive the components of the metric tensor by $$g_{ij}=\frac{1}{2}\frac{\partial^2F^2}{\partial x^i\partial x^j}\tag{1}$$ In Euclidean three-space (and in Cartesian coordinates), $F$ is the standard Euclidean distance metric $$F=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ which is your case where $\lambda=2$, and you can probably convince yourself that $(1)$ yields the familiar $$g= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$$ Here, we can extent the Riemannian definition to Finsler spaces using your $p$-norm; in your case, we're dealing with the more general $$F=\sqrt[\lambda]{x^\lambda+y^\lambda+z^\lambda},\quad F^2=\left(x^\lambda+y^\lambda+z^\lambda\right)^{2/\lambda}$$ Going back to $(1)$, we have $$\begin{aligned} g_{ij} &=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x^j}\frac{\partial F^2}{\partial x^i}\\ &=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x^j}\left(2(x^i)^{\lambda-1}\left(x^\lambda+y^\lambda+z^\lambda\right)\right)^{-1+2/\lambda} \end{aligned}$$ And so $$g_{ij}=\begin{cases}(2-\lambda)(x^i)^{\lambda-1}(x^j)^{\lambda-1}\left(x^\lambda+y^\lambda+z^\lambda\right)^{-2+2/\lambda},\quad i\neq j\\ \begin{aligned} &(2-\lambda)(x^i)^{2\lambda-2}\left(x^\lambda+y^\lambda+z^\lambda\right)^{-2+2/\lambda}\\ &+(\lambda-1)(x^i)^{\lambda-2}\left(x^\lambda+y^\lambda+z^\lambda\right)^{-1+2/\lambda},\quad i=j \end{aligned}\\ \end{cases}\tag{2}$$ You can again check that this works like normal in the case where $\lambda=2$.

Elementos de volumen

Entonces, ¿por qué nos importa $ g_ {ij} $? Bueno, si miramos la respuesta de Danijel , podemos ver que definen el potencial por $$ V (\ mathbf {x}) = \ int \ frac {G \ rho (\ mathbf {x})} {|| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '||} d ^ 3 \ mathbf {x} '\ tag {3} $$ donde $ d ^ 3 \ mathbf {x} '$ es el elemento de volumen; note que hemos permitido que $ \ rho $ varíe, como lo haría para un planeta real. Para coordenadas cartesianas en el espacio euclidiano, $ d ^ 3 \ mathbf {x} = dxdydz $. Sin embargo, esto no siempre es cierto. De hecho, en el caso general , $$ d ^ 3 \ mathbf {x} = \ sqrt {| g_ {ij} |} dx \ wedge dy \ wedge dz \ tag {4} $$ donde $ \ wedge $ denota el producto de cuña , y vemos que debemos calcular el determinante de $ g $, $ | g_ {ij} | $. (Observe nuevamente cómo $ \ sqrt {| g_ {ij} |} = 1 $ para las coordenadas cartesianas en el espacio euclidiano.) El cálculo del determinante es feo, y no lo haré aquí porque no tiene mucho sentido. Sin embargo, supongo que la simetría permite que se escriba de forma un poco ordenada.

Gradiente

As has already been noted, the surface of the planet should lie on an equipotential surface, that is, one where $|\vec{\nabla}V|=0$. The familiar Euclidean Gradiente is $$\vec{\nabla}=\left(\frac{\partial}{\partial x^1},\frac{\partial}{\partial x^2},\frac{\partial}{\partial x^3}\right)\hat{x}_i$$ for generalized coordinates $x^1$, $x^2$, and $x^3$, which are are $x$, $y$ and $z$. It should come as no surprise, however, that this fails for non-Euclidean spaces. In the more general case, $$\vec{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x^i}\cdot g^{ij}\sqrt{g_{jj}}\hat{\mathbf{x}}^i\tag{5}$$ for unit vector $\hat{\mathbf{x}}^i$, and again $g_{ij}$ plays a role.

La ecuación de Poisson y el teorema de la concha.

Aquí, por supuesto, está el problema, y ​​me ha estado molestando durante casi un día. La pregunta central que está haciendo aquí implica determinar el potencial correspondiente a una distribución de densidad dada. Podemos hacerlo fácilmente en espacio plano resolviendo la ecuación de Poisson ; La solución se puede encontrar a través de $ (3) $. Bueno. Pero, ¿la ecuación de Poisson es igual (o incluso similar) en este espacio de Finsler, y podemos resolverlo de la misma manera? La respuesta puede ser que no es así. En general, la relatividad, en una variedad de Riemann, se mantiene en el límite newtoniano de las ecuaciones de campo de Einstein. Sin embargo, no está claro que podamos hacer la misma suposición en el espacio de Finsler.

Digamos que la ecuación de Poisson se mantiene en algún tipo de forma (aquí, he establecido las constantes apropiadas en $ 1 $): $$ \ nabla ^ 2V = \ rho \ tag {6} $$ Luego, de hecho, $ (3) $ se mantiene en general, de alguna forma, nuevamente con el elemento de volumen apropiado. Ahora, lo que más me interesa - y he hablado de esto en el chat - es la respuesta a una pregunta publicada por Dietrich Epp : es el campo gravitacional fuera de una" esfera "idéntico al de una partícula puntual con la misma masa "https://en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem" rel = "noreferrer"> Teorema de Shell )? Si es así, tu ecuación dada para el potencial se mantiene para un planeta, y $$ V (\ mathbf {x}) = \ frac {Gm_1m_2} {|| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|| _ {\ lambda}} $$ Si no, necesitamos integrar $ (3) $ correctamente antes de hacer cualquier suposición sobre la forma del potencial. En cualquier caso, me gustaría ver una prueba de que una versión del teorema de shell (o una versión de el teorema de Birkhoff ) sostiene.

Un camino hacia una solución.

Todavía no tengo una respuesta a tu pregunta. Hay un par de maneras en las que podrías encontrar una superficie equipotencial:

  1. Muck con diversas superficies y encuentra una donde $ (\ text {3}) $ sea constante para todos $ V (\ mathbf {x}) $ en la superficie.
  2. Establezca $ | \ vec {\ nabla} V | = 0 $ y encuentre la superficie resultante.
  3. Establezca $ V (\ mathbf {x}) $ igual a alguna $ C $ constante y nuevamente encuentre la superficie.

El tercer método parece que definitivamente debería funcionar en el caso de una métrica euclidiana, para su potencial elegido. No puedo decir con certeza si funciona para todas las métricas relevantes de Finsler (y sospecho que no es así), así que no voy a afirmar que el caso general todavía funciona.

El tercer caso ingenuo

Bien, entonces configuremos $ V (\ mathbf {x}) = C $ para alguna $ C $ constante. Aquí, asumo que tu potencial es aplicable para un planeta. Entonces tenemos $$ || \ mathbf {r} || _ {\ lambda} = \ frac {GM} {C} \ implica \ left (x ^ \ lambda + y ^ \ lambda + z ^ \ lambda \ right) ^ {1/\ lambda} = \ frac {GM} {C} $$ Por lo tanto, nos quedamos con $$ z ^ \ lambda = \ left (\ frac {GM} {C} \ right) ^ {\ lambda} -x ^ \ lambda-y ^ \ lambda \ tag {7} $$ Curiosamente, como $ \ lambda \ to \ infty $, esto se convierte en un cubo!

Referencias:

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@pregunton Sí, no creo que invalide la respuesta de Danijel; sólo añade una ligera capa de complejidad.
agregado el autor Donovan Woodside, fuente
Guau. Qué increíble esfuerzo. Desearía poder votar dos veces, ¡pero tendrás que tomar estas felicitaciones verbales en su lugar!
agregado el autor user54695, fuente
¡Esta es una respuesta increíble, gracias por todo el esfuerzo en escribirla! Es un buen punto sobre la forma del volumen, tengo que pensar si invalidaría la respuesta de Danijel (aunque creo que las observaciones heurísticas en la respuesta de Logan hacen que sea probable que continúe).
agregado el autor user54411, fuente

No

La condición necesaria para que un cuerpo líquido esté en un equilibrio gravitatorio es que el potencial gravitatorio debe ser constante sobre su superficie. Para el cubo con densidad $ \ rho $, integrando $$ V (\ mathbf r) = \ int_ {cube} \ frac {G \ rho} {\ lVert \ mathbf r - \ mathbf r '\ rVert_ \ lambda} d ^ 3 \ mathbf r' $$ para varias ubicaciones $ \ mathbf r $ en su superficie, es fácil ver que, por ejemplo, el centro de una cara del cubo está más profundo en el pozo gravitatorio de un punto en su borde (o vértice).

La forma correcta probablemente no es una esfera, que también se puede verificar usando el mismo método, pero es más difícil de integrar, así que no lo hice. Todavía es una pregunta matemática interesante cuál sería la forma correcta.

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Gire su cubo 45 grados en cada eje y vuelva a calcular. Las matemáticas son demasiado difíciles para mí, pero el equivalente en 2D salió de un cuadrado girado 45 grados a la cuadrícula del espacio-tiempo.
agregado el autor Joshua, fuente
No estoy de acuerdo con Danijel en este punto. La clave es que, debido a la forma en que se tendría que medir esa distancia, la distancia desde el centro del cubo a cualquiera de los puntos de la superficie sería la misma, independientemente de si está en el centro de una cara, en un borde , o en un vértice.
agregado el autor LivingDust, fuente
Existe un concepto de coordenadas esféricas generalizadas para p-normas alternativas. Esperaría ingenuamente que una solución sea "esféricamente simétrica" ​​con respecto a esa generalización. No me he tomado el tiempo para probarlo ya que me encontré con esto.
agregado el autor Daniel, fuente
@StephenG El problema no muestra simetría esférica porque $ \ lVert \ mathbf r \ rVert_ \ lambda $ no es una función esféricamente simétrica de $ \ mathbf r $, es decir, no es una función de $ r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} $, por lo que una solución esféricamente simétrica sería bastante inesperada.
agregado el autor Danijel, fuente
@Mathaddict La distancia desde un punto en la superficie hasta el centro del cubo es la misma, independientemente de la elección del punto. Pero para integrarlo, necesita todas las distancias entre un punto en la superficie y todos los puntos del cubo.
agregado el autor Danijel, fuente
La métrica todavía tiene simetría radial y el potencial también tendrá simetría radial (al menos para cuerpos no giratorios). ¿Seguramente entonces la forma de un planeta (si puede existir) debería acercarse lo más posible a la simetría radial? No entiendo tu argumento de "probablemente no sea una esfera".
agregado el autor insidesin, fuente
¡Gracias por tu respuesta! Eso tiene sentido. Probé con el potencial alternativo que mencioné en una nota a pie de página $ V \ propto \ lVert \ mathbf {r} \ rVert_ \ lambda ^ {\ lambda/(\ lambda - 1) -3} $ y parece que todavía no es un cubo. Supongo que eso responde a la mitad de mi pregunta, ahora me pregunto cuál podría ser la forma correcta (si hay incluso una forma estable).
agregado el autor user54411, fuente

Como ha señalado Danijel, la pregunta se puede replantear como "¿cuál es la forma de la superficie equipotencial según esta ley de fuerza?"

Hay otras dos formas diferentes de ver los resultados: la perspectiva externa, en la que vemos a qué formas se asignan estos "planetas" si los superponemos en nuestro espacio euclidiano normal, y la perspectiva interna: cómo se verían "" Alguien incrustado en la misma métrica?

La perspectiva externa es mucho más fácil de entender. Simplemente calcule la forma de la superficie equipotencial en el espacio euclidiano usando una ley de fuerza diferente. Encontrar la forma exacta es complicado, pero los trazos amplios son bastante claros: la fuerza se reduce más lentamente a lo largo de los octantes a lo largo de los octantes que lo que hace normal a las caras, lo que significa que el potencial a igual distancia euclidiana es más alto a lo largo de los octantes que las caras. ... y así la superficie equipotencial termina formando hoyuelos hacia adentro a lo largo de los octantes, en lugar de sobresalir para formar vértices de cubo. Si realmente quisieras mundos cúbicos, necesitarías una ley de fuerza que disminuyera más rápido a lo largo de los octantes, no más lento.

Explorar la perspectiva interna es considerablemente más complicado. Honestamente, ni siquiera estoy seguro de cuál es la mejor manera de abordarlo; ¡Tratar de imaginar vivir en un mundo lambda-norma me rompe el cerebro! Como primer paso, probablemente trataría de investigar la curvatura local de la superficie equipotencial bajo esa norma; ¿Es más o menos uniforme, en cuyo caso los habitantes de este universo probablemente percibirían que sus mundos son aproximadamente suaves, como nosotros, o tienen variaciones regulares que se corresponderían con los bordes y los vértices? Con un poco más de formalización (lo que parece que estás perfectamente calificado para hacer), esa es una pregunta que probablemente podrías dirigir al Matemático StackExchange y obtener respuestas mucho más productivas.

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No estoy convencido de que esto sea equivalente. Con la ley del cuadrado inverso simple, los objetos pueden ser aproximados por masas de puntos, no estoy seguro de que esto sea cierto en este caso. Si no es cierto, entonces los planetas no tendrían la forma de superficies equipotenciales. De hecho, pueden tener formas diferentes dependiendo de su composición.
agregado el autor Waked, fuente
Para aclarar lo que acabo de decir, la superficie seguirá siendo equipotencial, pero la superficie equipotencial podría tener una forma diferente para planetas y masas de puntos.
agregado el autor Waked, fuente
¡Gracias! Tus observaciones tienen mucho sentido en retrospectiva; Curiosamente, esto significa que los planetas se verían más como octaedros que como cubos. La pregunta sobre la perspectiva interna suena bastante interesante, tendré que pensarlo.
agregado el autor user54411, fuente

Mi respuesta no va a ser tan profunda como su pregunta, pero me complace proporcionar algunas entradas.


Primero, voy a echar un vistazo a tus partículas:

1. Las partículas solo pueden moverse a una velocidad constante.

2. Particles can only move in six directions. (Or four in my 2D model.)

3. Las partículas tienen "gravedad".

Voy a imaginar dos partículas en un plano bidimensional por ahora:

enter image description here

Podríamos representar la gravedad como un vector de una partícula a otra, por lo que la partícula superior izquierda tendría (3, -2) . Para debilitar esta atracción con la distancia, podemos multiplicar el vector por el recíproco de su magnitud:

enter image description here

If there were other particles, we'd have to calculate the force vector for each. The resultant gravity would be the sum of the vectors, which in this example is just (3/√13, -2/√13)

Ahora, la partícula solo puede moverse en una de las cuatro direcciones en este ejemplo 2D, así que tomemos el componente vectorial con la mayor magnitud: x = 3/√13 y movamos una casilla en esa dirección. El resultado sería que ambas partículas se zigzaguean entre sí hasta que se encuentran. En este punto, pueden pasar dos cosas:

  • Las partículas dejan de moverse.

Esto viola su regla de que las partículas "básicamente solo se mueven a una cierta velocidad constante". Podría cambiar esta regla a Las partículas son estacionarias o se mueven a una velocidad establecida , teniendo un valor binario para su velocidad, O:

  • Las partículas oscilan entre sus dos posiciones.

Esto significa que las partículas se fijarán en una "órbita" alrededor de la otra que dura 2 tics, sin embargo, las deja pasar una a la otra. Esto se puede explicar al hacer que las partículas se muevan de un punto en el espacio al punto adyacente sin interactuar con, o pasar a través del espacio entre (¡PORQUE QUANTUM!) .

Todo esto es divertido y elegante hasta que llegas a una situación como esta:

enter image description here

Siempre que no haya otras partículas en todo el universo, estas dos partículas tendrán un vector de fuerza donde dos o más componentes son iguales. En este caso, ¿cómo elige la partícula qué camino tomar?

  • Solución 1: decide aleatoriamente

Olvidemos todos esos Dios no juega dados con el Universo shenanigans, porque no podemos simplemente" movernos en diagonal "en este sistema. Si hay dos direcciones posibles para moverse, cada una con la misma probabilidad de ocurrir, una de ellas debe ocurrir. Simplemente elige aleatoriamente una de las direcciones vinculadas y sigue ese camino.

  • Solución 2: QUANTUM STUFF ???

Solo haz que las partículas entren en superposición. Ya sabes, ve en ambos sentidos a la vez. Por qué no? Después de una marca de tiempo, se verá así (partículas ahora coloreadas de rojo y azul)

enter image description here

Ahora hay tres posiciones posibles para cada partícula, con probabilidades de 25%, 50%, 25% de existir en cada posición.

enter image description here

Oh darn those sundries! Now we have to perform a measurement, since each superposition may be colliding with something. And the probabilities of both red and blue existing in a specific position is a binomial distribution! That's fine, just randomly decide which of the paths the two particles took... But wait! What happens if they both end up on the same square? Well, SOMETHING would have to happen. I can't for the life of me figure out a way to work around this. Maybe you can, I don't know.

La ventaja de la Solución 2: QUANTUM STUFF ??? es que permite que las partículas superpuestas interactúen con otras partículas de terceros que pueden causar una medición temprana. Esto, nuevamente, causaría que dos partículas existan en el mismo lugar. La ventaja del método 1: No hay probabilidades desagradables.


Bien, entonces hablas mucho sobre la gravedad. Las cosas pueden agruparse. ¡Pero nada puede orbitar sin impulso!

Great point, Jenkins! Momentum can be represented as another vector. Each time tick, The resultant force of the gravitational attraction to every other particle in the entire universe is added to the momentum of the particle, forming a new momentum vector. Now, instead of moving in the direction of the strongest pull of gravity, the particles move in the direction of the strongest component of their momentum vector.

Now, all of this is great, but does it work? I will attempt to simulate this in Python and then update my post in due course.

Mis predicciones:

  • A menos que encuentre una manera de evitar que múltiples partículas se muevan en el mismo espacio, todo el sistema puede colapsar en una singularidad.

  • Si el impulso funciona correctamente, PUEDE haber alguna forma de mecánica orbital posible.

  • Se pueden formar grupos de partículas. Si lo hacen, tendrán una forma aproximadamente circular o pueden crear formas "cristalinas" como esta:

enter image description here

Mi teoría es que es más probable que una partícula se mueva hacia otro cuerpo de partículas si está alineada vertical u horizontalmente con ella, lo que produce salientes del grupo a lo largo de los ejes y posibles bordes diagonales.


La simulacion


Esto es lo que tengo hasta ahora:

import pygame
import random

(width, height) = (1000, 1000)
screen = pygame.display.set_mode((width, height))


class Particle:
    def __init__(self):
        self.position = (random.randint(-50, 50), random.randint(-50,50))
        self.momentum = (random.randint(-10, 10)/10, random.randint(-10,10)/10)

    def move(self, positions):
        resultant = (0, 0)
        for position in positions:
            vector = (position[0] - self.position[0], position[1] - self.position[1])
            magnitude = (vector[0] ** 2) + (vector[1] ** 2)
            if magnitude == 0:
                return
            resultant += (vector[0]/magnitude, vector[1]/magnitude)
        self.momentum += resultant

        if abs(self.momentum[0]) > abs(self.momentum[1]):
            self.position[0] += self.momentum[0]/abs(self.momentum[0])
        elif abs(self.momentum[0]) < abs(self.momentum[1]):
            self.position[1] += self.momentum[1]/abs(self.momentum[1])
        else:
            if random.randint(0, 1) == 1:
                self.position[0] += self.momentum[0]/abs(self.momentum[0])
            else:
                self.position[1] += self.momentum[1]/abs(self.momentum[1])

    def render(self):
        pygame.draw.rect(screen, (255, 255, 255),
                         (int((self.position[0] * 10) + 495), int((self.position[1] * 10) + 495), 10, 10),
                         0)


def run():
    screen.fill((0, 0, 0))

    particles = []
    for x in range(10):
        particles.append(Particle())

    running = True
    while running:
        for event in pygame.event.get():
            if event.type == pygame.QUIT:
                running = False

        positions = []
        for particle in particles:
            positions.append(particle.position)

        for particle in particles:
            particle.move(positions)

        for particle in particles:
            particle.render()

        pygame.display.flip()


run()

O bien es increíblemente largo calcular el siguiente fotograma o no funciona. Todavía no he resuelto eso ...

enter image description here

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@Aric Pensé que el código sería demasiado bueno para ser verdad.
agregado el autor T. Webster, fuente
¿Es si magnitude == 0: return correcto? ¿No significa eso que el código se rescatará cada vez que una partícula se encuentre, por lo tanto, no se moverá?
agregado el autor user3624, fuente
Según la pregunta, si te mueves en una dimensión, debes mover la misma distancia en las otras dos, pero en cualquier dirección (positiva o negativa), dando 8 direcciones, no 6. Esto significa que una analogía 2D solo tendría movimiento diagonal .
agregado el autor user3624, fuente
Volveré a esto y comentaré el código.
agregado el autor Aric, fuente
@CJDennis, esto significa que una analogía 2D solo tendría cuatro direcciones diagonales para moverse, así que todavía estoy en lo cierto a pesar de mis inexactitudes.
agregado el autor Aric, fuente
@CJDennis oh, debería haber usado continuar allí. ¡Eso podría ser lo que está causando el problema!
agregado el autor Aric, fuente
Buena respuesta. Su configuración se parece mucho a cómo abordé el problema por primera vez. ¡Esperamos su simulación!
agregado el autor user54411, fuente

Desearía tener más tiempo para jugar con las matemáticas, pero usemos un poco de lógica.

  • Velocity vectors must work in both directions. If your particle can only move in an octant, then gravity can only draw in an octant. This suggests...

    1. That gravity is functionally discrete. Unlike in our universe, where we could simplify and simulate this issue with two ball bearings that roll around each other's surface continuously with equal forces of gravity at any point, yours looks like the diagrams below.

    2. The force of gravity over distance is wild wonky. Rather than simulating it as a growing sphere of diminishing influence, it's more like a simple star you'd plop on top of a Christmas tree. The "arms" of the star would diminish with the square of distance, but between the arms it would diminish with something more like the bazillionth exponent of distance. Random attraction in your universe would be a much, much slower process.

Echemos un vistazo a las bonitas imágenes, que me he apropiado despiadadamente de tu publicación. Espero que no te moleste.

La fuerza gravitacional más débil, la fuerza de un solo vértice

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Duplica la fuerza gravitacional, la fuerza de doble vértice

enter image description here

La fuerza gravitacional más fuerte, la fuerza de cuatro vértices

enter image description here

A menos que cambies las diversas reglas de estado de energía más baja/conservación de X en tu universo, tus planetas se formarán predominantemente por partículas que se colocan en la posición de fuerza de cuatro vértices. Pueden formarse en la condición de un solo vértice, pero cualquier pequeño "golpe" los aplastará en una de las dos condiciones de gravedad más alta, eventualmente en el cuadrante.

A primera vista, esto sugeriría que sus planetas tienen la forma de una estrella de Navidad o una piñata de 8 puntas.

enter image description here

Excepto que hay todos esos espacios intermedios con conexiones de 6 vértices y 8 vértices ... Al final, creo que obtendrías planetas que son redondos con esquinas. Piensa en el globo cúbico, donde los lados se abultan por la presión interna:

enter image description here

Por último, unas palabras sobre las órbitas

Predigo que todas sus órbitas serán eclípicas debido a la naturaleza descrita de los vectores de gravedad. Es posible que tenga objetos pequeños/ligeros que orbitan en un plano elíptico inclinado 45 ° hacia la eclíptica, pero esa es la trayectoria gravitatoria más débil. También sospecho que no tendrá mucho en la forma de inclinaciones axiales planetarias (0 °, 45 °, 90 °).

Si vas a empañar el juego de palabras, esos vectores de gravedad tendrán una tendencia a mantener las cosas "encajonadas".

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Edit: creo que he leído mal la pregunta, pero lo esencial es: si la forma de tu cubo es equidistante del centro de masa y la gravedad depende de la distancia, entonces la forma del planeta será "a la misma distancia" centrar.


Una buena primera aproximación es un octoedro.

¿Por qué es un octoedro y no un cubo? Es porque tu universo tiene 6 direcciones especiales y corresponden a los 6 puntos del poliedro.

En este sistema de coordenadas, todos los puntos en la superficie de un octoedro están equidistantes del centro de masa.

enter image description here enter image description here enter image description here

Vale la pena señalar que los cubos y los octoedros son "polígonos duales" y que las caras de uno corresponden a los puntos del otro.

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agregado el autor FoxElemental, fuente

Respuesta de la ciencia material; siempre será una "esfera gravitatoria" (un objeto redondo y liso con una superficie gravitacionalmente plana) porque así es como los conjuntos de masas estables siempre descansan, el estado de energía potencial más bajo. Por el bien de la claridad, eso es "suave", "redondo" y "plano" a escala planetaria.

No estoy seguro de qué aspecto tiene una esfera gravitatoria para un observador equivalente humano en el universo propuesto, pero si la observo a través del filtro euclidiano de nuestros sentidos físicos, estoy bastante seguro de que seguirá siendo una esfera.

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@WGroleau No se le da lo que no está cambiando; La materia existe y está sujeta a algo parecido a la gravedad, ergo gravitacionalmente esférico.
agregado el autor Ash, fuente
¿No es la pregunta que se pregunta "qué forma es gravitacionalmente esférica en este universo"?
agregado el autor charles Xavior, fuente
"Siempre lo será" no es necesariamente cierto dado que OP está proponiendo un universo con DIFERENTES leyes físicas que las nuestras.
agregado el autor Dave O'Gorman, fuente

De hecho, esto es solo una cuestión de perspectiva (además de alterar la forma en que funciona la gravedad). Si la distancia se define como usted sugiere, podría incluso argumentar que nuestra Tierra también es un cubo si esa es la forma en que realmente percibe la distancia. De lo que realmente estamos hablando es de la definición de una métrica, y lo que estás describiendo se llama métrica de Taxicab en lugar de una métrica euclidiana. Y al afirmar que la gravedad utiliza la métrica de Taxicab en lugar de una euclidiana (la gravedad operaría midiendo la distancia a la manera de Taxicab), eso convertiría a nuestra Tierra en un cubo (según los estándares euclidianos), pero aún podrían llamarlo esfera porque Por la métrica del taxi esas cosas son iguales. Esto también contradice su otra premisa de que este espacio sigue los principios del espacio de Minkowski, ya que este espacio se define desde una base euclidiana. Así que tal vez estoy entendiendo mal tu premisa.

Uno de los problemas que enfrentará es el de la orientación (¿cuál es la causa de que una determinada dirección sea una de las principales)? Luego, los vértices de cada uno de tus planetas cúbicos estarán en las 8 direcciones cardinales. Entonces, si un objeto se limita al movimiento solo en esas direcciones, no podrían moverse a lo largo de la superficie del planeta, tendrían que ir en la dirección de uno de los vértices del planeta en el que están alejados de la superficie y luego "caer" hacia abajo a lo largo de la dirección de otro vértice.

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He editado la publicación para que sea más claro sobre el contexto de mi respuesta. Además, vale la pena considerar qué quiere decir con líquido. Si todo solo puede moverse en las direcciones que mencionaste, ¿eso se aplica también a los átomos individuales? De ser así, las propiedades de los líquidos cambiarían fundamentalmente, al igual que los gases, la temperatura y una gran cantidad de otras cosas que se basan en los grados de libertad dados al poder moverse en geometrías euclidianas.
agregado el autor LivingDust, fuente
Un punto menor acerca de su edición: la norma Taxicab correspondería a $ \ lambda = 1 $, y es diferente de la que estoy usando, lo que corresponde a tomar una gran $ \ lambda $ y es más similar a la norma sup aunque están relacionados porque son duales el uno del otro). La norma que estoy usando es una generalización de la norma de Minkowski en el sentido de que mantiene el signo menos junto a $ | dt | $. Espero que me explique bien.
agregado el autor user54411, fuente
¡Buena pregunta! En realidad estoy tratando de desarrollar la termodinámica en paralelo a esto. Mis resultados sugieren que hay algo que podría llamarse líquido, aunque actúa más como un gas y tiene algunas propiedades extrañas. presión; Quiero hacer una pregunta por separado, probablemente en Math Stack Exchange. Pero para esta pregunta no consideré que el material fuera importante para determinar la forma final.
agregado el autor user54411, fuente
Hmm, no estoy seguro de que sea solo una cuestión de perspectiva. Después de todo, la elección de la norma tiene consecuencias físicas (las ocho velocidades), y es plausible que estas consecuencias también afecten físicamente la forma de los planetas. Sobre el problema que mencionas, sí, es básicamente por eso que quería que los planetas fueran "líquidos". Las cosas también se complican por el hecho de que todo el planeta también se movería a una velocidad constante en una de las direcciones.
agregado el autor user54411, fuente

Sus reglas de movimiento ... son muy confusas, con las ocho direcciones especiales y la tendencia de la materia a viajar constantemente a la velocidad de la luz a lo largo de una de ellas. Si estoy entendiendo eso correctamente. Por lo tanto, para el resto de esta respuesta, asumiré que la "fuerza de cohesión" que usted menciona hace que las partículas primordiales se agrupen en grupos ("átomos") que pueden moverse con mayor libertad. Las partículas primordiales dentro de estos átomos rebotan en las ocho direcciones especiales a la velocidad de la luz, pero todo el átomo puede moverse en cualquier dirección a cualquier velocidad, dependiendo de qué fracción de las partículas primordiales se mueven en cada una de las direcciones especiales.

Como nota al margen, esto en realidad me recuerda a la fuerza nuclear fuerte. Los protones y los neutrones son un caos desordenado de quarks y gluones unidos por las fuerzas increíblemente fuertes de la cromodinámica cuántica. Los hadrones más pequeños ocasionalmente se escapan de ellos y pueden interactuar con cualquier otro nucleón que se encuentre cerca, dando como resultado las fuerzas que unen los núcleos atómicos. Los átomos que describo anteriormente son un caos caótico de partículas primordiales unidas por una fuerza increíblemente fuerte. Las partículas primordiales individuales (o, si lo prefiere, pequeños grupos "atómicos") pueden ocasionalmente filtrarse e interactuar con otros átomos cercanos, dando como resultado algo similar a la física nuclear o química.

De todas formas. Con eso fuera del camino, veamos la gravedad.

Usted da una definición correcta en la pregunta:

$$ V = {G m_1 m_2 \ sobre ‖ \ mathbf {r} ‖_λ} $$

que disminuye con la inversa de la sup norma de la posición, presumiblemente en analogía con el potencial gravitatorio en nuestro universo, que disminuye con la inversa de la distancia euclidiana. Por lo tanto, la velocidad de escape funcionará de la misma manera, y las órbitas deberían existir al menos, aunque sus formas serán bastante extrañas y pueden o no ser estables.

La respuesta a la pregunta de "qué forma tendrá un planeta líquido" es siempre "cualquier forma que tenga un potencial gravitatorio constante en toda su superficie". Para un planeta que consiste en un volumen de líquido sin masa, esto es bastante simple: es un cubo. En la norma sup, toda la superficie de un cubo está a la misma distancia de su centro, y la distancia de la norma es exactamente lo que importa aquí.

Sin embargo, cuando se trata de planetas, las masas de puntos cubiertas de líquidos sin masa hacen una pequeña simplificación. Funciona en nuestro universo, gracias a la simetría y la Ley de Gauss, pero la física aquí es muy diferente. Para averiguar cómo son realmente los planetas en este universo, necesitamos profundizar un poco más.

Específicamente, necesitamos descubrir cómo funciona realmente la gravedad. La fuerza, quiero decir; No solo el potencial. Para las masas de puntos, esto es bastante simple: la dirección es recta hacia abajo del gradiente potencial, y la magnitud es igual a la pendiente de ese gradiente. Por lo tanto, la fuerza gravitatoria entre dos masas puntuales estará siempre en una de las seis direcciones cardinales cartesianas. Es decir, perpendicular a las caras de un planeta cúbico. Y la magnitud, como en nuestro universo, disminuirá con el cuadrado inverso de la distancia (sup norma).

Con eso, podemos comenzar a explorar los campos gravitacionales de las cosas que no son masas puntuales. Tenga en cuenta que para calcular la fuerza gravitatoria a lo largo de cada eje, solo nos importa la materia en una pirámide de 45 grados centrada en ese eje. Si imagina un cubo dividido en seis pirámides cuadradas idénticas, de manera que el vértice de cada una esté en el centro del cubo, cada pirámide proporciona el volumen en el cual la materia puede tirar del centro del cubo en uno de los seis direcciones.

... No estoy seguro si esa descripción tuvo algún sentido, pero no importa. ¡Adelante!

Estudio de caso 1: Un plano infinito, plano y de grosor cero de densidad uniforme, perpendicular a uno de los ejes. Un objeto a cada lado del plano sentirá una atracción gravitatoria hacia él. Específicamente, sentirá la gravedad de una región cuadrada del plano, con una longitud de lado igual al doble de la distancia al plano. La fuerza gravitacional será proporcional al área del cuadrado (que sube con el cuadrado de la distancia) dividida por el cuadrado de la distancia ... por lo que el plano crea un campo gravitacional uniforme a cada lado de la misma. Al igual que en la vida real, sin normas euclidianas. Esto también significa que los planos infinitos con grosores distintos de cero también se comportarán de la misma manera.

Estudio de caso 2: Una barra infinitamente larga, infinitamente delgada, alineada con uno de los ejes. Un objeto sentirá la gravedad de una sección de esta varilla con una longitud proporcional a la distancia de supresión a ella y, dada la ley del cuadrado inverso, esto se traduce en una fuerza de gravedad proporcional al recíproco de la distancia de supresión de la varilla. . Una vez más, al igual que la vida real.

Estudio de caso 3: Un cubo sólido. A distancias extremas, esto se parecerá mucho a una masa puntual, pero esta pregunta se refiere a la forma de un planeta líquido, por lo que lo que realmente importa es la superficie. En el centro de cada cara, la gravedad apuntará directamente hacia el centro, perpendicular a la cara. En el centro de cada borde, la mitad de la masa del cubo se jalará a lo largo de un eje, mientras que la otra mitad se jalará a lo largo de otro eje, dando como resultado una fuerza neta en un ángulo de 45 grados. Los puntos cerca del borde experimentarán una gravedad ligeramente diferente, por lo que los líquidos fluirán hacia abajo desde los vértices y los bordes y se acumularán en los centros de las caras. Así, los planetas líquidos de densidad uniforme no serán cubos.

Estudio de caso 4: ¿Tal vez un octaedro lo hará, entonces? En cada vértice, toda la masa del octaedro tirará de la materia en la dirección de uno de los ejes. En los puntos cercanos a cada vértice, casi toda la masa del octaedro ejercerá una fuerza en esa misma dirección ... una vez más, haciendo que los líquidos fluyan hacia el centro de la cara más cercana.

Entonces, claramente, los planetas líquidos en este universo no serán ni cubos ni octaedros. Serán una superficie lisa de algún tipo. El campo gravitatorio en la vecindad de un objeto con densidad finita (es decir, si excluimos cosas como masas puntuales y los planos y barras de grosor cero discutidos anteriormente) siempre será continuo y diferenciable; por lo tanto, para que su superficie sea perpendicular a su propio campo gravitatorio, su superficie también debe ser diferenciable. Entonces, ¿qué forma tendrán los planetas? Esferas Tal vez. No lo sé. Tendrán al menos tanta simetría como cubos y octaedros, te lo puedo decir.

En cualquier caso, cualquiera sea la forma que tengan los planetas de densidad uniforme, cuanto más denso sea el núcleo del planeta, más parecido a un cubo será. En el caso límite en el que toda la masa del planeta se concentra en un punto en su centro, el planeta será un cubo perfecto.

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Voy a intentar una respuesta corta y sencilla.

Asumo que la gravedad funciona de manera similar a nuestro universo, excepto para el cálculo de la distancia. Una forma gravitacionalmente estable es donde los puntos de la superficie están equidistantes del centro. Si algunos puntos estuvieran más alejados del centro que otros, suavizarlos reduciría la energía potencial gravitatoria.

En la métrica que está utilizando, la distancia es la mayor de las diferencias x, y y z. Si tomamos un radio de 3 para un ejemplo, la superficie equidistante es la que está a 3 de distancia en una dimensión y no más de 3 en cualquier otra dimensión. Eso nos da un cubo.

Si la distancia fuera x + y + z, obtendríamos un octaedro, que dejaré como un ejercicio para el lector.

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